P是椭圆上的点,F1、F2是两个焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差是_____
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P是椭圆上的点,F1、F2是两个焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差是_____
题型:不详
难度:
来源:
P是椭圆
上的点,F
1
、F
2
是两个焦点,则|PF
1
|·|PF
2
|的最大值与最小值之差是_____
答案
5
解析
分析:由题意,设|PF
1
|=x,故有|PF
1
|?|PF
2
|=x(6-x)=-x
2
+6x=-(x-3)
2
+9,
其中3-
≤x≤3+
。根据 函数y=-x
2
+6x在(3-
,3)上单调递增,(3,3+
)上单调递减,可求y=-x
2
+6x的最小值与最大值,从而可求|PF
1
|?|PF
2
|的最大值和最小值之差。
解答:
由题意,设|PF
1
|=x,
∵|PF
1
|+|PF
2
|=2a=6,
∴|PF
2
|=6-x
∴|PF
1
|?|PF
2
|=x(6-x)=-x
2
+6x=-(x-3)
2
+9
∵椭圆c=
,a=3
∴3-
≤x≤3+
∵函数y=-x
2
+6x在(3-
,3)上单调递增,(3,3+
)上单调递减,
∴x=3-
时,y=-x
2
+6x取最小值(3-
)(3+
)=4,
x=3时,y=-x
2
+6x取最大值为9,
∴|PF
1
|?|PF
2
|的最大值和最小值之差为9-4=5
故答案为:5
点评:本题以椭圆的标准方程为载体,考查椭圆定义的运用,考查函数的构建,考查函数的单调性,属于基础题。
举一反三
如图,已知某椭圆的焦点是F
1
(-4,0)、F
2
(4,0),过点F
2
并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B,且|F
1
B|+|F
2
B|=10,椭圆上不同的两点A(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)满足条件:|F
2
A|、|F
2
B|、|F
2
C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程;
(2)求弦AC中点的横坐标;
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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如果椭圆
上一点P到焦点
的距离等于6,那么点P到另一个焦点
的距离是
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的焦点是F
1
,F
2
,如果椭圆上一点P满足PF
1
⊥PF
2
下面结论正确的是( )
A.P点有两个
B.P点有四个
C.P点不一定存在
D.P点一定不存在
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
椭圆
过点
,其左、右焦点分别为
,离心率
,
是直线
上的两个动点,且
.
(1)求椭圆的方程; (2)求
的最小值;
(3)以
为直径的圆
是否过定点?请证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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在椭圆
上有一点M,F
1
、F
2
是椭圆的左、右焦点,若
,则椭圆离心率的取值范围是 )。
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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