(Ⅰ)解:由x2+3y2=3b2 得, 所以e====. (Ⅱ)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),△ABO的面积为S. 如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(,),此时S==; 如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx+m, 由 得x2+3(kx+m) 2=3, 即 (1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,又Δ=36k2m2-4(1+3k2) (3m2-3)>0, 所以 x1+x2=-,x1x2=, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4 x1x2=, ① 由 | AB |=及 | AB |=得 (x1-x2)2=, ② 结合①,②得m2=(1+3k2)-.又原点O到直线AB的距离为, 所以S=, 因此S2==[-]=[-(-2)2+1] =-(-2)2+≤, 故S≤.当且仅当=2,即k=±1时上式取等号.又>,故S max=. |