(本小题满分13分)给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。（1）求椭圆的方程和其“准圆”

题型：不详难度：来源：

(本小题满分13分)
给定椭圆＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个交点。求证：⊥.

答案

解：（1）因为，所以                        2分
所以椭圆的方程为，   准圆的方程为.       4分
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与准圆交于点
此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是
(或，即为(或，显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直.                 7分
②当都有斜率时，设点其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则，消去得到，
即，
，
经过化简得到：，               9分
因为，所以有，
设的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足上述方程，
所以，即垂直.                                13分

解析

略