本小题满分14分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且的最小值不小于。(1)证明

本小题满分14分)已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且的最小值不小于。(1)证明

题型:不详难度:来源:

本小题满分14分)
已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且的最小值不小于
(1)证明:椭圆上的点到F2的最短距离为
(2)求椭圆的离心率e的取值范围;
(3)设椭圆的短半轴长为1,圆F2轴的右交点为Q,过点Q作斜率为的直线与椭圆相交于A、B两点,若OA⊥OB,求直线被圆F2截得的弦长S的最大值。
答案
解:(1)假设椭圆上的任一点P(x0,,y0
则︱PF22=(x0-c)2+y02由椭圆方程
易得︱PF22=x02-2cx0+c2+b2,显然当 x0=a时,
︱PF2︱最小值为a-c.。。。。。。。。。。。。4分
(2)依题意知
当且仅当取得最小值时,取最小值
,又因为b-c>0,
。。。。8分
(3)依题意Q点的坐标为,则直线的方程为,代入椭圆方程得
,则。。。。。。。。。。。10分
又OA⊥OB,∴
,即,直线的方程为
圆心到直线的距离
由图象可知
 。。。。。。。。。。。。12分
。。。。。。。。。。14分
解析

举一反三
已知椭圆的焦点坐标为,椭圆经过点
(1)求椭圆方程;
(2)过椭圆左顶点M(-a,0)与直线上点N的直线交椭圆于点P,求的值。
(3)过右焦点且不与对称轴平行的直线交椭圆于A、B两点,点,若的斜率无关,求t的值
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(本小题满分l3分)
设椭圆的焦点分别为,直线轴于点,且.
(1)试求椭圆的方程;

 


 
  (2)过分别作互相垂直的两直线与椭圆分别       交于四点(如图所示),试求四边形面积的最大值和最小值.

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三、解答题(本大题共有3个小题,共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)
13. (本小题满分13分)
已知命题:方程表示焦点在轴上的椭圆,命题:关于x的方程无实根,若“”为假命题,“”为真命题,求实数的取值范围.
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设椭圆的长轴两端点为,异于的点在椭圆上,则 的斜率之积为            .
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(本小题满分13分)
如图,已知椭圆:的离心率为,左焦点为,过点且斜率为的直线交椭圆于两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围;
(Ⅲ)在轴上,是否存在定点,使恒为定值?若存在,求出点的坐标和这个定值;若不存在,说明理由.

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