已知椭圆的离心率,短轴长为.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、,经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、.是否存在常数,使得向量
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已知椭圆的离心率,短轴长为.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、,经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、.是否存在常数,使得向量
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
的离心率
,短轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)若椭圆与
轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为
、
,经过点
且斜率为
的直线
与椭圆交于不同的两点
、
.是否存在常数
,使得向量
共线?如果存在,求
的值;如果不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)
。(Ⅱ)不存在符合题意的常数
,理由略。
解析
(1)椭圆方程是
……4分
(Ⅱ)由已知条件,直线
:
,代入椭圆方程得
.
整理得
①
由已知得
,解得
或
……6分
设
,则
,
由方程①,
. ②
又
. ③
而
,
,
,
所以
共线等价于
,
将②③代入上式,解得
,……10分
又
或
,故没有符合题意的常数
.………………12分
举一反三
(本小题满分14分)
如图,F
1
、F
2
分别是椭圆
的左右焦点,M为椭圆上一点,MF
2
垂直于
轴,椭圆下顶点和右顶点分别为A,B,且
(1)求椭圆的离心率;
(2)过F
2
作OM垂直的直线交椭圆于点P,Q,若
,求椭圆方程。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)已知椭圆
的左、右焦点分别为
,点
是
轴上方椭圆
上的一点,且
,
,
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程和
点的坐标;
(Ⅱ)判断以
为直径的圆与以椭圆
的长轴为直径的圆的位置关系;
(Ⅲ)若点
是椭圆
:
上的任意一点,
是椭圆
的一个焦点,探究以
为直径的圆与以椭圆
的长轴为直径的圆的位置关系.
题型:不详
难度:
|
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已知
为焦点的椭圆与
直线
有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为
。
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知椭圆
的右准线是
,倾斜角为
交椭圆于A、B两点,AB的中点为
(I)求椭圆的方程;
(II)若P、Q是椭圆上满足
若直线OP、OQ的斜率分别为
,求证:
是定值。
题型:不详
难度:
|
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(本题14分)已知
A
、
B
分别是椭圆
的左右两个焦点,
O
为坐标原点,点
P
)在椭圆上,线段
PB
与
y
轴的交点
M
为线段
PB
的中点。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点
是椭圆上异于长轴端点的任一点,对于△ABC,求
的值。
题型:不详
难度:
|
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