（本小题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是轴上方椭圆上的一点，且, , ．(Ⅰ) 求椭圆的方程和点的坐标；（Ⅱ）判断以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，点是轴上方椭圆上的一点，且, , ．
(Ⅰ) 求椭圆的方程和点的坐标；
（Ⅱ）判断以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系；
（Ⅲ）若点是椭圆：上的任意一点，是椭圆的一个焦点，探究以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系．

答案

(Ⅰ) 椭圆的方程是：，
（Ⅱ）两圆相内切
（Ⅲ）两圆内切

解析

解: (Ⅰ)在椭圆上 ,          ……………….1分
,         ……………….2分
, .       
所以椭圆的方程是：                       ……………….4分
，                 ……….5分
（Ⅱ）线段的中点 
∴ 以为圆心为直径的圆的方程为 
圆的半径                                          …………….8分
以椭圆的长轴为直径的圆的方程为：  ，圆心为，半径为
圆与圆的圆心距为 所以两圆相内切  ………10分
（Ⅲ）以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆相内切           ………11分
设是椭圆的另一个焦点，其长轴长为，
∵点是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，
则有 ，则以为直径的圆的圆心是，圆的半径为，
以椭圆的长轴为直径的圆的半径，
两圆圆心、分别是和的中点，
∴两圆心间的距离，所以两圆内切．…….14分