(1)由题知抛物线y2 = 16x的准线方程为x =" –" 4,这也是椭圆的左准线方程.设椭圆的右焦点为F(c,0),其中c =,则,即a2 = 4c.①
由消去x,得. 由于直线x + 2y – 4 = 0与椭圆C相切,所以 . 即4b2 + a2 – 16 = 0,所以4(a2 – c2) + a2 – 16 = 0, 整理得5a2 –4c2 – 16 = 0. ② 将①代入②得5×4c – 4c2 – 16 = 0,即c2 – 5c + 4 = 0,解得c = 1或4. 由于c<a<. 所以c = 1.所以a2 = 4,b2 = 3.所以椭圆C的方程为. 5分 (2)由(1)知,A(–2,0),F(1,0),椭圆的右准线方程为x = 4. 根据椭圆的对称性,当直线PQ⊥x轴时,四边形MNPQ是等腰梯形,对角线PM、QN的交点在x轴上.此时,直线PQ的方程为x = 1. 由得不妨取P(1,),Q(1,–), 故直线AP的方程为y =,将x = 4代入,得N(4,3), 所以直线QN的方程为.令y = 0,得x = 2,即直线QN与x轴的交点为R(2,0), 此点恰为椭圆的右顶点.……8分下面只要证明,在一般情况下Q、N、R三点共线即可. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(4,y3),M(4,y4),直线PQ的方程为x = my + 1. 由消去x得. 所以.因为A(–2,0),P(x1,y1),N(4,y3)三点共线, 所以与共线,所以(x1 + 2)y3 = 6y1,即y3 =. 由于, 所以= ==. 所以、共线,即Q、N、R三点共线.、……12分同理可证,P、M、R三点共线. 所以,四边形MNPQ的对角线的交点是定点,此定点恰为椭圆的右顶点.……13分 |