(Ⅰ)解法一:由题意,∵椭圆E:+=1(a>b>0)的一个交点为F1(-,0), ∴a2-b2=3,① ∵椭圆过点H(,). ∴+=1,② ①②解得a2=4,b2=1, 所以椭圆E的方程为+y2=1.…(4分) 解法二:椭圆的两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0), 由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=4,所以a=2,b2=1, 所以椭圆E的方程为+y2=1.…(4分) (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x0,y0), 直线PA1:y-1=x,令y=0,得xN=; 直线PA2:y+1=x,令y=0,得xM=; 设圆G的圆心为((-),h), 则r2=[(-)-]2+h2=(+)2+h2, OG2=(-)2+h2OT2=OG2-r2=(+)2+h2-(-)2-h2= 而+y02=1,所以=4(1-),所以OT2==4, 所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…(14分) 解法二:由(Ⅰ)可知A1(0,1),A2(0,-1),设P(x0,y0), 直线PA1:y-1=x,令y=0,得xN=; 直线PA2:y+1=x,令y=0,得xM=; 则|OM|•|ON|=|•|=||,而+y02=1,所以=4(1-), 所以|OM|•|ON|=||=4,由切割线定理得OT2=|OM|•|ON|=4 所以|OT|=2,即线段OT的长度为定值2.…(14分) |