已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
和圆O:x
2
+y
2
=b
2
,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心率的取值范围是______.
答案
连接OA,OB,OP,依题意,O、P、A、B四点共圆,
∵∠APB=60°,
∠APO=∠BPO=30°,
在直角三角形OAP中,∠AOP=60°,
∴cos∠AOP=
b
|OP|
=
1
2
,
∴|OP|=
b
1
2
=2b,
∴b<|OP|≤a,
∴2b≤a,
∴4b
2
≤a
2
,即4(a
2
-c
2
)≤a
2
,
∴3a
2
≤4c
2
,
即
c
2
a
2
≥
3
4
,
∴
3
2
≤e,又0<e<1,
∴
3
2
≤e<1,
∴椭圆C的离心率的取值范围是[
3
2
,1).
故答案为:[
3
2
,1).
举一反三
已知F
1
是椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则PA+PF
1
的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知AB=2c(常数c>0),以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB
∥
CD,若椭圆以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形ABCD的周长最大时,椭圆的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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如图,F
1
、F
2
是椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两焦点,过点F
2
作AB⊥x轴交椭圆于A、B两点,若△F
1
AB为等腰直角三角形,且∠AF
1
B=90°,则椭圆的离心率是( )
A.
2
-1
B.
2
2
C.
3-2
2
D.
2-
2
题型:不详
难度:
|
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设F
1
,F
2
分别为椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点.
(1)设椭圆C上的点
A(1,
3
2
)
到两焦点的距离之和为4,求椭圆C的方程;
(2)设P是(1)中椭圆上的一点,∠F
1
PF
2
=60°求△F
1
PF
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知经过椭圆4x
2
+8y
2
=1右焦点F
2
的直线与椭圆有两个交点A,B,F
1
是椭圆的左焦点,则△F
1
AB的周长为______.
题型:不详
难度:
|
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