在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点,左焦点为F(-3,0),且过D(2,0).(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的动点,点A(1,0),求线

在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点,左焦点为F(-3,0),且过D(2,0).(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的动点,点A(1,0),求线

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点,左焦点为F(-


3
,0)
,且过D(2,0).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,点A(1,0),求线段PA中点M的轨迹方程.
答案
(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=


3
,则半短轴b=


a2-c2
=1.
又椭圆的焦点在x轴上,
∴椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1

(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),





x=
x0+1
2
y=
y0
2
,得





x0=2x-1
y0=2y

∵点P在椭圆上,得
(2x-1)2
4
+(2y)2=1

∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-
1
2
)2+4y2=1
举一反三
过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过左焦点,则椭圆的离心率等于______.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足∠APB=60°,则椭圆C的离心率的取值范围是______.
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已知F1是椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则PA+PF1的最大值为______.
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如图,已知AB=2c(常数c>0),以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且ABCD,若椭圆以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形ABCD的周长最大时,椭圆的离心率为______.
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如图,F1、F2是椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两焦点,过点F2作AB⊥x轴交椭圆于A、B两点,若△F1AB为等腰直角三角形,且∠AF1B=90°,则椭圆的离心率是(  )
A.


2
-1
B.


2
2
C.3-2


2
D.2-


2

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