(Ⅰ)∵点D(0,1)在且椭圆E上, ∴b=1, ∵e2====()2=, ∴a2=2a2-2, ∴a2=2,a=, ∴椭圆E的方程为+y2=1(4分) (Ⅱ)解法一:设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0), 代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0. ∵直线AB过椭圆的右焦点F2, ∴方程有两个不等实根. 记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则x1+x1=,x0=(x1+x2)=,y0=k(x0-1)=-,(6分) ∴AB垂直平分线NG的方程为y-y0=-(x-x0). 令y=0,得t=x0+ky0=-==-.(8分) ∵k≠0,∴0<t<. ∴t的取值范围为(0,).(10分) 解法二:设直线AB的方程为x=my+1, 由可得(m2+2)y2+2my-1=0. 记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则y1+y2=,y1y2=-. 可得y0==x0=my0+1=. (6分) ∴AB垂直平分线NG的方程为y-y0=-m(x-x0). 令y=0,得t=x0+=-=.(8分) ∵m≠0,∴0<m<. ∴t的取值范围为(0,). (10分)
(Ⅲ)解法一:S△GAB=•|F2G|•|y1-y2|=|F2G||k|•|x1-x2|. 而|x1-x2|==, ∵0<t<,由t=,可得k2=,k2+1=,2k2+1=. 所以|x1-x2|=2(1-2t). 又|F2G|=1-t, 所以S△GAB=(1-t)•2(1-2t)=(0<t<).(12分) 设f(t)=t(1-t)3,则f′(t)=(1-t)2(1-4t). 可知f(t)在区间(0,)单调递增,在区间(,)单调递减. 所以,当t=时,f(t)有最大值f()=. 所以,当t=时,△GAB的面积有最大值.(14分) 解法二:S△GAB=•|F2G|•|y1-y2| 而|y1-y2|==, 由t=,可得m2+2=. 所以|y1-y2|==. 又|F2G|=1-t, 所以S△MPQ=. 所以△MPQ的面积为(0<t<).(12分) 设f(t)=t(1-t)3, 则f"(t)=(1-t)2(1-4t). 可知f(t)在区间(0,)单调递增,在区间(,)单调递减. 所以,当t=时,f(t)有最大值f()=. 所以,当t=时,△GAB的面积有最大值.(14分) |