设椭圆方程为x2a2+y2b2=1 (a>b>0),PQ是过左焦点F且与x轴不垂直的弦,若在左准线l上存在点R,使△PQR为正三角形,则椭圆离心率e的取值范围是

设椭圆方程为x2a2+y2b2=1 (a>b>0),PQ是过左焦点F且与x轴不垂直的弦,若在左准线l上存在点R,使△PQR为正三角形,则椭圆离心率e的取值范围是

题型:不详难度:来源:
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
,PQ是过左焦点F且与x轴不垂直的弦,若在左准线l上存在点R,使△PQR为正三角形,则椭圆离心率e的取值范围是______.
答案
设弦PQ的中点为M,过点P、M、Q分别作准线l的垂线,垂足为P"、M"、Q"
则|MM"|=
1
2
(|PP"|+|QQ"|)=
1
2e
(|PF|+|QF|)=
1
2e
|PQ|
假设存在点R,使△PQR为正三角形,则由|RM|=


3
2
|PQ|,且|MM"|<|RM|
得:
1
2e
|PQ|<


3
2
|PQ|
1
2e


3
2

∴e>


3
3

∴椭圆离心率e的取值范围是(


3
3
,1)

故答案为:(


3
3
,1)
举一反三
人造地球卫星的运行轨迹是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点、远地点离地面距离分别为
R
2
5R
2
,则卫星轨迹的长轴长为(  )
A.5RB.4RC.3RD.2R
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已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是(  )
A.


3
2
B.


2
2
C.


2
-1
D.


2
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点为F1,F2,两条准线与x轴的交点分别为M,N,若|MN|≤2|F1F2|,则该椭圆离心率的取值范围是(  )
A.(0,
1
2
]
B.(0,


2
2
]
C.[
1
2
,1)
D.[


2
2
,1)
题型:北京难度:| 查看答案
已知双曲线C的一条渐近线为y=
1
2
x
,且与椭圆x2+
y2
6
=1
有公共焦点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线l:x-


2
y-2=0
与双曲线C相交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否过原点,并说明理由.
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椭圆4x2+y2=k(k>0)两点间最大距离是8,则k=(  )
A.32B.16C.8D.4
题型:不详难度:| 查看答案
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