已知双曲线C的一条渐近线为y=12x，且与椭圆x2+y26=1有公共焦点．（1）求双曲线C的方程；（2）直线l：x-2y-2=0与双曲线C相交于A，B两点，试判

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已知双曲线C的一条渐近线为y=12x，且与椭圆x2+y26=1有公共焦点．（1）求双曲线C的方程；（2）直线l：x-2y-2=0与双曲线C相交于A，B两点，试判

题型：不详难度：来源：
已知双曲线C的一条渐近线为y=
1
2
x，且与椭圆x2+
y2
6
=1有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l：x-


2
y-2=0与双曲线C相交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否过原点，并说明理由．
答案
（1）椭圆x2+
y2
6
=1的焦点坐标为（0，±


5
）
设双曲线的方程为：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0），则





a
b
=
1
2
a2+b2=5
，∴a=1，b=2
∴双曲线C：y2-
x2
4
=1；
（2）直线l：x-


2
y-2=0与双曲线C联立，消元可得y2-2


2
y-4=0
∴yAyB=-4，yA+yB=2


2

∴xAxB=2yAyB+


2
（yA+yB）+4=4
∴xAxB+yAyB=0
∴OA⊥OB
∴以AB为直径的圆过原点．
举一反三
椭圆4x2+y2=k（k＞0）两点间最大距离是8，则k=（　　）
A．32B．16C．8D．4
题型：不详难度：| 查看答案
设F1、F2是椭圆
x2 
a2 
+
y2 
b2 
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆短轴的一个端点，且△F1PF2为正三角形，则该椭圆的离心率为（　　）
A．


3
3
B．


2
2
C．
1
3
D．
1
2
题型：不详难度：| 查看答案
（1）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆





x=5cosϕ
y=3sinϕ
（φ为参数）的右焦点且与直线





x=4-2t
y=3-t
（t为参数）平行的直线的普通方程；
（2）求直线





x=1+4t
y=-1-3t
（t为参数）被曲线ρ=


2
cos(θ+
π
4
)所截得的弦长．
题型：不详难度：| 查看答案
已知直线y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为


3
3
，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量


OA
与向量f（s）≥ϕ（t）互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[
1
2
，


2
2
]时，求椭圆的长轴长的最大值．
题型：不详难度：| 查看答案
设直线2x-y+1=0与椭圆
x2
3
+
y2
4
=1相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为kAB，kOM，则kAB⋅kOM为定值．试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
题型：宝山区一模难度：| 查看答案
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