设直线2x-y+1=0与椭圆x23+y24=1相交于A、B两点.(1)线段AB中点M的坐标及线段AB的长;(2)已知椭圆具有性质:设A、B是椭圆x2a2+y2b
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设直线2x-y+1=0与椭圆x23+y24=1相交于A、B两点.(1)线段AB中点M的坐标及线段AB的长;(2)已知椭圆具有性质:设A、B是椭圆x2a2+y2b
题型:宝山区一模
难度:
来源:
设直线2x-y+1=0与椭圆
x
2
3
+
y
2
4
=1
相交于A、B两点.
(1)线段AB中点M的坐标及线段AB的长;
(2)已知椭圆具有性质:设A、B是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
上的任意两点,M是线段AB的中点,若直线AB、OM的斜率都存在,并记为k
AB
,k
OM
,则k
AB
⋅k
OM
为定值.试对双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
写出具有类似特性的性质,并加以证明.
答案
(1)设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则
2x-y+1=0
x
2
3
+
y
2
4
=1
⇒
4
3
x
2
+x-
3
4
=0
⇒
x
1
+
x
2
=-
3
4
x
1
x
2
=-
9
16
(2分)
所以
M(-
3
8
,
1
4
)
|AB|=
1+
2
2
|
x
1
-
x
2
|
=
5
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
=
15
4
(2)设A、B是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
上的任意两点,M是线段AB的中点,若直线AB、OM的斜率都存在,并记为k
AB
,k
OM
,则k
AB
⋅k
OM
为定值.
证明:设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),分别代入双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
,再相减后可得:
1
a
2
(
x
1
+
x
2
)(
x
1
-
x
2
)
-
1
b
2
(
y
1
+
y
2
)(
y
1
-
y
2
)
=0
设M(x
0
,y
0
),则
x
1
+
x
2
=2
x
0
y
1
+
y
2
=2
y
0
,代入上式可得
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=
b
2
a
2
×
x
0
y
0
即k
AB
⋅k
OM
=
b
2
a
2
∴定值为
b
2
a
2
举一反三
椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
满足
a≤
3
b
,离心率为e,则e
2
的最大值是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
以椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1的中心为顶点,以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点,则|AB|的值为 ______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆x
2
+4y
2
-4=0上的一点P到椭圆一个焦点的距离为1,则P到该椭圆另一焦点的距离为( )
A.2
B.3
C.5
D.7
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆的两个焦点为F
1
、F
2
,短轴的一个端点为A,且三角形F
1
AF
2
是顶角为120°的等腰三角形形,则此椭圆的离心率为 ______.
题型:海淀区一模
难度:
|
查看答案
椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1上一点P到左焦点F的距离为6,则P点到左准线的距离为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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