已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2|=2,∠F1PF2=π3,△F1PF2的面积为3

已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2|=2,∠F1PF2=π3,△F1PF2的面积为3

题型:聊城一模难度:来源:
已知点F1,F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2|=2,∠F1PF2=
π
3
,△F1PF2
的面积为


3
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点M的坐标为(
5
4
,0)
,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,对于任意的k∈R,


MA


MB
是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由.
答案
(Ⅰ)设|PF1|=m,|PF2|=n,在三角形PF1F2中,由余弦定理得4=m2+n2-2mncos
π
3
,由三角形的面积为


3
3

所以
1
2
mnsin
π
3
=


3
3
,所以mn=
4
3
,所以m+n=2


2
,所以a=


2
;又c=1,所以b=1,椭圆C的方程为
x2
2
y2 =1

(Ⅱ)由F2(1,0),直线l的方程为y=k(x-1).由





y=k(x-1)
x2
2
+y2 =1
消去y,(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2(k2-1)
2k2+1



MA


MB
=(x1-
5
4
,y1)(x2-
5
4
,y2)=(x1-
5
4
)(x2-
5
4
)+y1y2
=(x1-
5
4
)(x2-
5
4
)+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)
2k2-2
2k2+1
-
4k2(k2+
5
4
)
2k2+1
+
25
16
+k2
=
-4 k2-2
2k2+1
+
25
16
=-
7
16
由此可知


MA


MB
=-
7
16
为定值.
举一反三
一个正方形内接于椭圆,并有两边垂直于椭圆长轴且分别经过它的焦点则椭圆的离心率为(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.


5
-1
2
D.


3
-1
2
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆25x2+9y2=225的长轴长,短轴长,离心率依次是(  )
A.5,3,
4
5
B.10,6,
4
5
C.5,3,
3
5
D.10,6,
3
5
题型:不详难度:| 查看答案
已知P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的一个动点,且P与椭圆长轴两个顶点连线的斜率之积为-
1
2
,则椭圆的离心率为(  )
A.


3
2
B.


2
2
C.
1
2
D.


3
3
题型:不详难度:| 查看答案
定义:离心率e=


5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”,对于椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,c为椭圆的半焦距,如果a,b,c不成等比数列,则椭圆E(  )
A.一定是“黄金椭圆”B.一定不是“黄金椭圆”
C.可能是“黄金椭圆”D.可能不是“黄金椭圆”
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(  )
A.
1
3
B.


3
3
C.


2
2
D.
1
2
题型:不详难度:| 查看答案
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