已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:x2+y2+3x-3y-6=0过A,F2两点.(1)求椭圆E的

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:x2+y2+3x-3y-6=0过A,F2两点.(1)求椭圆E的

题型:不详难度:来源:
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:x2+y2+


3
x-3y-6=0
过A,F2两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线PF2的倾斜角为α,直线PF1的倾斜角为β,当β-α=
3
时,证明:点P在一定圆上.
答案
(1)圆x2+y2+


3
x-3y-6=0
与x轴交点坐标为A(-2


3
,0)
F2(


3
,0)

a=2


3
,c=


3
,所以b=3,∴椭圆方程是:
x2
12
+
y2
9
=1

(2)证明:设点P(x,y),因为F1(-


3
,0),F2


3
,0),
设点P(x,y),则kPF1=tanβ=
y
x+


3
kPF2=tanα=
y
x-


3

因为β-α=
3
,所以tan(β-α)=-


3

因为tan(β-α)=
tanβ-tanα
1+tanαtanβ
=
-2


3
y
x2+y2-3

所以
-2


3
y
x2+y2-3
=-


3
,化简得x2+y2-2y=3.
所以点P在定圆x2+y2-2y=3上.
举一反三
已知P(x,y)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的动点,F1,F2是焦点,则|PF1|•|PF2|的取值范围是______.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,且经过点D(1,
3
2
).A,B分别是椭圆C的左右顶点,M为椭圆上一点,直线AM,BM分别交椭圆右准线L于P,Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求


AP


BQ
的值
(3)求|PQ|的最小值.
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在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右顶点为A,上顶点为B,M为线段AB的中点,若∠MOA=30°,则该椭圆的离心率的值为______.
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过椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则A,B与椭圆的另一个焦点构成的△ABF2周长等于______.
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已知
x2
16
+
y2
7
=1
上一点P到左准线距离为8,则点P到右焦点的距离是(  )
A.2B.
7
2
C.
13
2
D.6
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