已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:x2+y2+3x-3y-6=0过A,F2两点.(1)求椭圆E的
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已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:x2+y2+3x-3y-6=0过A,F2两点.(1)求椭圆E的
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左顶点为A,左、右焦点分别为F
1
、F
2
,且圆C:
x
2
+
y
2
+
3
x-3y-6=0
过A,F
2
两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线PF
2
的倾斜角为α,直线PF
1
的倾斜角为β,当β-α=
2π
3
时,证明:点P在一定圆上.
答案
(1)圆
x
2
+
y
2
+
3
x-3y-6=0
与x轴交点坐标为
A(-2
3
,0)
,
F
2
(
3
,0)
,
故
a=2
3
,c=
3
,所以b=3,∴椭圆方程是:
x
2
12
+
y
2
9
=1
.
(2)证明:设点P(x,y),因为F
1
(-
3
,0),F
2
(
3
,0),
设点P(x,y),则
k
P
F
1
=tanβ=
y
x+
3
,
k
P
F
2
=tanα=
y
x-
3
,
因为β-α=
2π
3
,所以tan(β-α)=-
3
.
因为tan(β-α)=
tanβ-tanα
1+tanαtanβ
=
-2
3
y
x
2
+
y
2
-3
,
所以
-2
3
y
x
2
+
y
2
-3
=-
3
,化简得x
2
+y
2
-2y=3.
所以点P在定圆x
2
+y
2
-2y=3上.
举一反三
已知P(x,y)是椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)上的动点,F
1
,F
2
是焦点,则|PF
1
|•|PF
2
|的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,且经过点D(1,
3
2
).A,B分别是椭圆C的左右顶点,M为椭圆上一点,直线AM,BM分别交椭圆右准线L于P,Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求
AP
•
BQ
的值
(3)求|PQ|的最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的右顶点为A,上顶点为B,M为线段AB的中点,若∠MOA=30°,则该椭圆的离心率的值为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
过椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1
的一个焦点F
1
的直线与椭圆交于A,B两点,则A,B与椭圆的另一个焦点构成的△ABF
2
周长等于______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
x
2
16
+
y
2
7
=1
上一点P到左准线距离为8,则点P到右焦点的距离是( )
A.2
B.
7
2
C.
13
2
D.6
题型:不详
难度:
|
查看答案
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