已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e=33，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A．B分别是椭圆的左、右顶点

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

3

，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A．B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上的动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P与A、B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（3）若M为过P且垂直于x轴的直线上的点，且

|OP|

|OM|

=2，求点M的轨迹方程．

答案

（1）由题意可得圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+2=0与圆相切，
∴d=

2

2

=b，即b=

2

，
又e=

c

a

=

3

3

，即a=

3

c，
∵a²=b²+c²，
∴a=

3

，c=1，
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）证明：设P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-

3

，0），B（

3

，0），
∴k₁=

y0

x0+ 3

，k₂=

y0

x0- 3

∵

x02

3

+

y02

2

=1，∴y02=2-

2x02

3

，
∴k₁•k₂=

y02

x02-( 3 )2

=

2- 2x02 3

x02-( 3 )2

=-

2

3

；
（3）设M（x，y），其中x∈[-

3

，

3

]．
由已知

|OP|

|OM|

=2及点P在椭圆C上可得

x2+2- 2 3 x2

x2+y2

=4
整理得

x2

6 11

+

y2

2

=1，其中x∈[-

3

，

3

]．