已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点F1、F2和短轴的两端点B1、B2正好是一正方形的四个顶点,且焦点到椭圆上一点的最近距离为2-1.(1)求椭
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两焦点F1、F2和短轴的两端点B1、B2正好是一正方形的四个顶点,且焦点到椭圆上一点的最近距离为2-1.(1)求椭
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的两焦点F
1
、F
2
和短轴的两端点B
1
、B
2
正好是一正方形的四个顶点,且焦点到椭圆上一点的最近距离为
2
-1
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P是椭圆上任一点,MN是圆C:x
2
+(y-2)
2
=1的任一条直径,求
PM
•
PN
的最大值.
答案
(1)由题意知
b=c,a-c=
2
-1,解得a=
2
,c=b=1
,
故椭圆的标准方程为
x
2
2
+
y
2
=1
.
(2)
PM
•
PN
=(
PC
+
CM
)•(
PC
+
CN
)=(
PC
+
CM
)•(
PC
-
CM
)
=
PC
2
-1
从而只需求出
|
PC
|
的最大值
设P(x
0
,y
0
),
则有
x
0
2
2
+
y
0
2
=1
,
即有x
0
2
=2-2y
0
2
,又C(0,2),
所以
PC
2
=
x
20
+(
y
0
-2
)
2
=-(
y
0
+2
)
2
+10
,
而y
0
∈[-1,1],
所以y
0
=-1时,
PC
2
最大值为9,
故
PM
•
PN
的最大值为8.
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的右焦点为F,右准线为l,离心率e=
5
5
.
过顶点A(0,b)作AM⊥l,垂足为M,则直线FM的斜率等于 ______.
题型:湖南
难度:
|
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一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长轴,短轴及焦点.
题型:不详
难度:
|
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椭圆5x
2
-ky
2
=5的一个焦点是(0,2),那么k=______.
题型:天津
难度:
|
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椭圆25x
2
-150x+9y
2
+18y+9=0的两个焦点坐标是( )
A.(-3,5),(-3,-3)
B.(3,3),(3,-5)
C.(1,1),(-7,1)
D.(7,-1),(-1,-1)
题型:不详
难度:
|
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设p≠0,实系数一元二次方程z
2
-2pz+q=0有两个虚数根z
1
,z
2
、再设z
1
,z
2
在复平面内的对应点是Z
1
,Z
2
,求以Z
1
,Z
2
为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.
题型:不详
难度:
|
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