椭圆M：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且PF1•PF2的最大值为3c2，其中c2=a2-b2，则椭圆M的

题型：不详难度：来源：

椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆M上任一点，且PF₁•PF₂的最大值为3c²，其中c²=a²-b²，则椭圆M的离心率为 ______．

答案

由题意可知F₁（-c，0），F₂（c，0），设点P为（x，y）
∵

x2

a2

+

y2

b2

=1∴x2=

a2 (b2-y2)

b2

∴

PF1

=(-c-x，-y)，

PF2

=(c-x，-y)
∴

PF1

•PF2

=x²-c²+y²=

a2 (b2-y2)

b2

-c²+y²
=a2-c2-

c2y2

b2

当y=0时

PF1

•PF2

取到最大值3c²，即a²-c²=3c²，
∴a²=4c²∴e=

c

a

=

1

2

故答案为：

1

2