设椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0),F(0,c)(c>0)为椭圆的焦点,它到直线y=a2c的距离及椭圆的离心率均为22,直线l与y轴交于点P(0,m
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设椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0),F(0,c)(c>0)为椭圆的焦点,它到直线y=a2c的距离及椭圆的离心率均为22,直线l与y轴交于点P(0,m
题型:淄博三模
难度:
来源:
设椭圆C:
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0),F(0,c)(c>0)
为椭圆的焦点,它到直线
y=
a
2
c
的距离及椭圆的离心率均为
2
2
,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且
AP
=λ
PB
(I)求椭圆方程;
(Ⅱ)若
OA
+λ
OB
=4
OP
,求m的取值范围.
答案
( I)由条件知
a
2
c
-c=
2
2
c
a
=
2
2
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得
b=c=
2
2
,a=1.
故椭圆C的方程为y
2
+2x
2
=1.
( II)由
AP
=λ
PB
得
OP
-
OA
=λ(
OB
-
OP
)
,化为
(1+λ)
OP
=
OA
+λ
OB
.
∴1+λ=4,解得λ=3.
设直线l 与椭圆C交点为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
联立
y=kx+m
2
x
2
+
y
2
=1
得(k
2
+2)x
2
+2kmx+m
2
-1=0.
△=(2km)
2
-4(k
2
+2)(m
2
-1)=4(k
2
-2m
2
+2)>0.(*)
∴
x
1
+
x
2
=
-2km
k
2
+2
,
x
1
x
2
=
m
2
-1
k
2
+2
.
∵
AP
=3
PB
,∴-x
1
=3x
2
,
∴
x
1
+
x
2
=-2
x
2
x
1
x
2
=-3
x
22
,
消去x
2
,得
3(
x
1
+
x
2
)
2
+4
x
1
x
2
=0
,
∴
3(
-2km
k
2
+2
)
2
+4
m
2
-1
k
2
+2
=0
.
整理得:4k
2
m
2
+2m
2
-k
2
-2=0,
m
2
=
1
4
时,上式不成立;
m
2
≠
1
4
时,
k
2
=
2-2
m
2
4
m
2
-1
.
由(*)式得k
2
>2m
2
-2
∴
2-2
m
2
4
m
2
-1
>2
m
2
-2
∴
-1<m<-
1
2
或
1
2
<m<1
.
即所求m的取值范围为
(-1,-
1
2
)∪(
1
2
,1)
.
举一反三
设F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,F
1
F
2
=8,P是椭圆上的点,PF
1
+PF
2
=10,且PF
1
⊥PF
2
,则点P的个数是______.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆x
2
+my
2
=1(0<m<1)的离心率为
3
2
,则它的长轴长为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知P为椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
上任意一点,F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,求:
(1)|PF
1
|•|PF
2
|的最大值;
(2)
|P
F
1
|
2
+
|P
F
2
|
2
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,离心率为
6
3
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M、N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
(2)焦距是10,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
题型:不详
难度:
|
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