从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是（　　）A．[53，32]B．[3

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从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是（　　）A．[53，32]B．[3

题型：不详难度：来源：
从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是（　　）
A．[


5
3
，


3
2
]		B．[


3
3
，


2
2
]		C．[


5
3
，


2
2
]		D．[


3
3
，


3
2
]
答案
设椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1，
在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜
π
2
）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b2≤2ab≤4b2，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b2≤4a2≤16b2，
9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），
5a2≤9c2且12 a2≥16 c2，
∴


5
3
≤
c
a
≤


3
2

即e∈[


5
3
，


3
2
]
故选A
举一反三
点P（x，y）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2≤90°，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A．0＜e≤


2
2
B．


2
2
≤e＜1		C．0＜e＜1D．e=


2
2
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点．若AB⊥BF，则该椭圆的离心率为（　　）
A．


5
+1
2
B．


5
-1
2
C．


5
+1
4
D．


5
-1
4
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过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）
A．


2
2
B．


3
3
C．
1
2
D．
1
3
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离心率为黄金比


5
-1
2
的椭圆称为“优美椭圆”．设
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则∠FBA等于（　　）
A．60°B．75°C．90°D．120°
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若椭圆
x2
m+2
+
y2
3
=1的焦点在x轴上，且离心率e=
1
2
，则m的值为（　　）
A．


2
B．2C．-


2
D．±


2
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