从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是(  )A.[53,32]B.[3

从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是(  )A.[53,32]B.[3

题型:不详难度:来源:
从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是(  )
A.[


5
3


3
2
]
B.[


3
3


2
2
]
C.[


5
3


2
2
]
D.[


3
3


3
2
]
答案
设椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,
在第一象限内取点(x,y),设x=acosθ,y=bsinθ,(0<θ<
π
2

则椭圆的内接矩形长为2acosθ,宽为2bsinθ,
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab,
由已知得:3b2≤2ab≤4b2
3b≤2a≤4b,
平方得:9b2≤4a2≤16b2
9(a2-c2)≤4a2≤16(a2-c2),
5a2≤9c2且12 a2≥16 c2


5
3
c
a


3
2

即e∈[


5
3


3
2
]
故选A
举一反三
点P(x,y)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2≤90°,则该椭圆的离心率的取值范围是(  )
A.0<e≤


2
2
B.


2
2
≤e<1
C.0<e<1D.e=


2
2
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0),A是椭圆长轴的一个端点,B是椭圆短轴的一个端点,F为椭圆的一个焦点.若AB⊥BF,则该椭圆的离心率为(  )
A.


5
+1
2
B.


5
-1
2
C.


5
+1
4
D.


5
-1
4
题型:不详难度:| 查看答案
过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  )
A.


2
2
B.


3
3
C.
1
2
D.
1
3
题型:不详难度:| 查看答案
离心率为黄金比


5
-1
2
的椭圆称为“优美椭圆”.设
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
是优美椭圆,F、A分别是它的左焦点和右顶点,B是它的短轴的一个顶点,则∠FBA等于(  )
A.60°B.75°C.90°D.120°
题型:不详难度:| 查看答案
若椭圆
x2
m+2
+
y2
3
=1
的焦点在x轴上,且离心率e=
1
2
,则m的值为(  )
A.


2
B.2C.-


2
D.±


2
题型:不详难度:| 查看答案
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