已知直线l经过椭圆y22+x2=1的焦点并且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M,则△MPQ面积的最大值为______.
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已知直线l经过椭圆y22+x2=1的焦点并且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M,则△MPQ面积的最大值为______.
题型:不详
难度:
来源:
已知直线l经过椭圆
y
2
2
+
x
2
=1
的焦点并且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M,则△MPQ面积的最大值为______.
答案
由题意可知直线的斜率存在,
所以设直线l的方程为y=kx+1,M(m,0);
由
y=kx+1
y
2
2
+
x
2
=1
可得(k
2
+2)x
2
+2kx-1=0.
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=
-2k
k
2
+2
,x
1
x
2
=-
1
k
2
+2
.
可得y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
)+2=
4
k
2
+2
.…(3分)
设线段PQ中点为N,则点N的坐标为(
-k
k
2
+2
,
2
k
2
+2
),直线MN的方程为:y-
2
k
2
+2
=
-
1
k
(x-
-k
k
2
+2
),
M(
k
k
2
+2
,0),|MN|=
(
-k
k
2
+2
-
k
k
2
+2
)
2
+
(
2
k
2
+2
)
2
=
2
k
2
+1
k
2
+2
,
|AB|=
1+
k
2
•
(
-2k
k
2
+2
)
2
+
4
k
2
+2
=
2
2
k
2
+1
k
2
+2
△MPQ的面积为
1
2
|AB|•|MN|
=
1
2
×
2
2
k
2
+1
k
2
+2
×
2
k
2
+1
k
2
+2
=
2
2
(
k
2
+1)
(
k
2
+2
)
2
=
2
2
(
k
2
+1)
(
k
2
+1)
2
+2(
k
2
+1)+1
=
2
2
(
k
2
+1)+
1
k
2
+1
+2
≤
2
2
.当且仅当k=0时去等号.
所以所求面积的最大值为
2
2
.
故答案为:
2
2
.
举一反三
已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
3
,它的上顶点为A,左、右焦点分别为F
1
,F
2
,直线AF
1
,AF
2
分别交椭圆于点B,C.
(1)求证直线BO平分线段AC;
(2)设点P(m,n)(m,n为常数)在直线BO上且在椭圆外,过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M,N,在线段MN上取点Q,满足
MP
NP
=
MQ
QN
,试证明点Q恒在一定直线上.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),若椭圆上存在一点P使
a
sin∠P
F
1
F
2
=
c
sin∠P
F
2
F
1
,则该椭圆的离心率的取值范围为______.
题型:重庆
难度:
|
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在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F
1
,F
2
在x轴上,离心率为
1
2
.过F
1
的直线交椭圆C于A,B两点,且△ABF
2
的周长为8.过定点M(0,3)的直线l
1
与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l
1
的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
题型:延庆县一模
难度:
|
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已知椭圆C:
(a>b>0)
的左焦点F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连结AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,
cos∠ABF=
,则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:辽宁
难度:
|
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椭圆Γ:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,焦距为2c,若直线y=
3
(x+c)
与椭圆Γ的一个交点满足∠MF
1
F
2
=2∠MF
2
F
1
,则该椭圆的离心率等于______.
题型:福建
难度:
|
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助词
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表述题
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