设离心率e=12的椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和

设离心率e=12的椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和

题型:大连一模难度:来源:
设离心率e=
1
2
的椭圆M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,P是x轴正半轴上一点,以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点,且该圆和直线x+


3
y+3=0
相切,过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)若相异两点A、B关于x轴对称,直线BC交x轴与点Q,求Q点坐标.
答案
(Ⅰ)设以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点N,
∴|NF1|=a,∠PNF1=
π
2
,∵e=
1
2
,∴a=2c,
∠NF1P=
π
3
,|F1P|=2a.
∴F2(c,0)是以PF1为直径的圆的圆心,
∵该圆和直线x+


3
y+3=0
相切,
2c=
|c+3|


1+(


3
)
2

c=1,a=2,b=


3

∴椭圆M的方程为:
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)设点A(x1,y1),C(x2,y2),则点B(x1,-y1),
设直线PA的方程为y=k(x-3),联立方程组





x2
4
+
y2
3
=1
y=k(x-3).

化简整理得(4k2+3)x2-24k2x+36k2-12=0,
由△=(24k22-4•(3+4k2)•(36k2-12)>0得k2
3
5

x1+x2=
24k2
4k2+3
x1x2=
36k2-12
4k2+3

直线BC的方程为:y+y1=
y2+y1
x2-x1
(x-x1)

令y=0,则x=
y1x2+y2x1
y1+y2
=
2x1x2-3(x1+x2)
x1+x2-6
=
72k2-24
4k2+3
-
72k2
4k2+3
24k2
4k2+3
-6
=
4
3

∴Q点坐标为(
4
3
,0)
举一反三
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T,且TF与x轴垂直,则椭圆的离心率为______.
题型:长春模拟难度:| 查看答案
已知直线l经过椭圆
y2
2
+x2=1
的焦点并且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M,则△MPQ面积的最大值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


3
3
,它的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C.
(1)求证直线BO平分线段AC;
(2)设点P(m,n)(m,n为常数)在直线BO上且在椭圆外,过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M,N,在线段MN上取点Q,满足
MP
NP
=
MQ
QN
,试证明点Q恒在一定直线上.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使
a
sin∠PF1F2
=
c
sin∠PF2F1
,则该椭圆的离心率的取值范围为______.
题型:重庆难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为
1
2
.过F1的直线交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为8.过定点M(0,3)的直线l1与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).
(Ⅰ) 求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l1的斜率k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
题型:延庆县一模难度:| 查看答案
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