已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若AF=2FB，则椭圆的离心率是______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

已知过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若

AF

=2

FB

，则椭圆的离心率是______．

右焦点F（c，0），直线的方程为 y-0=x-c．设 A（m，m-c），B（ n，n-c），
由

AF

=2

FB

得（c-m，c-m）=2 （n-c，n-c），∴c-m=2（n-c），m+2n=3c ①．
再根据椭圆的第二定义，

AF

FB

=2=

a2

c

-m

a2

c

-n

，∴2n-m=

a2

c

②，
由①②解得 m=

3c2-a2

2c

，n=

3c2+a2

4c

．
据椭圆的第二定义，e=

BF

d

=

(n-c)2+ (n-c-0)2

a2

c

-n

=

2

n-

2

c

a2

c

-n

=

2

a2-

2

c2

3a2-3c2

=

2

-

2

e2

3-3e2

，
∴3e³-3e-

2

e²+

2

=0，（e²-1）•（3e-

2

）=0．∵0＜e＜1，
∴e=

2

3

，故椭圆的离心率是

2

3

，故答案为

2

3

．

如图，F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF₂是面积为

3

的正三角形，则b²的值是______．魔方格

题型：北京难度：| 查看答案

以椭圆的短轴的一个端点B（0，1）为直角顶点，作椭圆的内接等腰直角三角形的个数为（　　）

题型：浙江模拟难度：| 查看答案

题型：不详难度：| 查看答案

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是______．

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且

OP

⊥

OQ

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：

1

a2

+

1

b2

等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率e∈[

3

，

2

]时，求椭圆长轴长的取值范围．

已知点A（0，b），B为椭圆

（a＞b＞0）的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为（　　）

题型：不详难度：| 查看答案