已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点D(1,).A,B分别是椭圆C的左右顶点,M为椭圆上一点,直线AM,BM分别交椭圆右准线L于P,Q.(1)求

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点D(1,).A,B分别是椭圆C的左右顶点,M为椭圆上一点,直线AM,BM分别交椭圆右准线L于P,Q.(1)求

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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点D(1,).A,B分别是椭圆C的左右顶点,M为椭圆上一点,直线AM,BM分别交椭圆右准线L于P,Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的值
(3)求|PQ|的最小值.
答案
解:(1)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为
==
∴b2= a ①
再由椭圆经过点D(1,),可得 ,即 ②.
由①②解得 a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程
(2)由题意可得 A(﹣2,0),B(2,0),
∵M为椭圆上一点,可设M(2cosθ,sinθ).
∵直线AM,BM分别交椭圆右准线L于P,Q,椭圆右准线L方程为 x=4,
故可设p(4,y1),Q(4,y2).
由题意可得 A、M、P三点共线,可得 KAM=KAP
=,∴y1=3
再由M、B、P 三点共线,可得 KBM=KBQ
=,∴y2=
=(6,3 ),=(2,).
=(6,3 )(2,
=12+3=12+9 =12﹣9=3,
=3.
(3)由(2)|yp||yq|=9,
∴|PQ|=|yp﹣yq |=|yp|+|yq|≥2=6,
当且仅当|yp|=|yq|时等号成立,
故|PQ|的最小值为6.
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)被围于由4条直线x=±a,y=±b所围成的矩形ABCD内,任取椭圆上一点P,若=m+n(m、n∈R),则m、n满足的一个等式是(    ).
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已知椭圆的右准线是x=1,倾斜角为交椭圆于A、B两点,AB的中点为
(I)求椭圆的方程;
(II)若P、Q是椭圆上满足,若直线OP、OQ的斜率分别为kOP,kOQ,求证:|kOPkOQ|是定值.
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椭圆的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是(    )。
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设椭圆的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点。
(1)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>
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已知F是椭圆C:的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆相切于点Q,且,则椭圆C的离心率为(    )
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