(Ⅰ)原点到直线 x-y+=0的距离d==, ∴c=2,a=,∴b=1, ∴双曲线E的方程为E:-y2=1; (Ⅱ)解法一:假设存在点M(m,0)满足条件, ①当直线l方程为y=0时,则P(-,0),Q(,0),F(-2,0),∴•=(-+2,0)•(+2,0)=1; ②当直线l方程不是y=0时,可设直线l:x=ty+m,(t≠±)代入E:-y2=1 整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0 (t≠±),* 由△>0得m2+t2>9, 设方程*的两个根为y1,y2,满足y1+y2=-, y1y2=,∴•=(ty1+m+2,y1)•(ty2+m+2,y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=, 当且仅当2m2+12m+15=3时,•为定值1, 解得m=-3±, ∵m=-3+不满足对任意t≠±,△>0,∴不合题意,舍去. 而且m=-3-满足△>0; 综上得:过定点M(-3-,0)任意作一条直线l交双曲线E于P,Q两点,使•为定值1. 解法二:前同解法一,得•=, 由=1⇒2m2+12m+15=3, 解得m=-3±,下同解法一. 解法三:当直线l不垂直x轴时,设l:y=k(x-m) (k≠±),代入E:-y2=1 整理得(3k2-1)x2-6mk2x+3(m2k2+1)=0 (k≠±),* 由△>0得m2k2-3k2+1>0, 设方程*的两个根为x1,x2,满足x1+x2=, x1x2=, ∴•=(x1+2,k(x1-m))•(x2+2,k(x2-m))=(1+k2)x1x2+(2-mk2)(x1+x2)+m2k2+4=, 当且仅当2m2+12m+15=3时,•为定值1, 解得m=-3±, ∵不满足对任意K≠±,△>0,∴m=-3+不合题意,舍去, 而且m=-3-满足△>0; 当直线l⊥x轴时,l:x=-3-代入E:-y2=1得y1,2=±, ∴•=(-1-,y1)•(-1-,y2)=(-1-)2+y1y2=1;…(9分) 综上得:(结论同解法一) |