已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=3x，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）

题型：东城区二模难度：来源：

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=

3

x，两条准线间的距离为1，F₁，F₂是双曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k_PM•k_PN的值．

答案

（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，
有：

b a = 3 2a2 c =1 a2+b2=c2.

解得a²=1，b²=3．
∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），由双曲线的对称性，可得N（-x₀，-y₀）．
设P（x_P，y_P），
则kPM•kPN=

yP-y0

xP-x0

•

yP+y0

xP+x0

=

yP2-y02

xP2-x02

，
又x02-

y02

3

=1，
∴y₀²=3x₀²-3．
同理y_P²=3x_P²-3，
∴kPM•kPN=

3xP2-3-3x02+3

xP2-x02

=3．