设双曲线的方程为-=1. 依题意知,点P,Q的坐标满足方程组
整理得(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0 ①. 若5b2-3a2=0,则=,即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b2-3a2≠0. 设方程①的两个根为x1,x2,则有 x1+x2=②,x1x2=-③, 由于P、Q在直线y=(x-c)上,可记为 P(x1,(x1-c)),Q(x2,(x2-c)). 由OP⊥OQ得•=-1, 整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0 ④. 将②,③式及c2=a2+b2代入④式,并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0,即(a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因为a2+3b2≠0,解得b2=3a2, 所以c==2a. 由|PQ|=4,得(x2-x1)2+[(x2-c)-(x1-c)]2=42. 整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0 ⑤. 将②,③式及b2=3a2,c=2a代入⑤式,解得a2=1. 将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为x2-=1. |