已知双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且AB•AF=-1，∠BAF=120°．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，4

题型：东城区二模难度：来源：

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且

AB

•

AF

=-1，∠BAF=120°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当

PQ

=λ1

OM

=λ2

ON

，且λ1+λ2=-

32

7

时，求点Q的坐标．

答案

（Ⅰ）由条件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．

AB

•

AF

=(-a，b)•(c-a，0)=a(a-c)=-1．①
cosBAF=

AB • AF

| AB |•| AF |

=

a(a-c)

c(c-a)

=-

a

c

=cos120°=-

1

2

．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．则b²=c²-a²=3．
故双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程为：y=kx+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Q(-

4

k

，0)．
∴

PQ

=λ1

QM

．
∴(-

4

k

•-4)=λ1(x1+

4

k

，y1)．
∴

- 4 k =λ1(x1+ 4 k ) -4=λ1y1.

⇒

x1=- 4 kλ1 - 4 k y1=- 4 λ1

∵M（x₁，y₁）在双曲线C上，
∴

16

k2

(

1+λ1

λ1

)2-

16

3 λ 21

-1=0．
∴16+32λ1+16

λ

21

-

16

3

k2-k2λ2=0．
∴(16-k2)

λ

21

+32λ1+16-

16

3

k2=0．
同理(16-k2)

λ

22

+32λ2+16-

16

3

k2-0．
若16-k²=0，则直线l过项点，不合题意，∴16-k²≠0
∴λ1，λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-

16

3

k2=0的两根
∴λ1+λ2=

32

k2-16

=-

32

7

．
∴k²=9，此时△＞0，∴k=±3．
∴所求Q点的坐标为(±

4

3

，0)．