已知F是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右焦点,若F到双曲线C的渐近线的距离是1,且双曲线C的离心率e=62.(1)求双曲线C的方程;(2)过
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已知F是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右焦点,若F到双曲线C的渐近线的距离是1,且双曲线C的离心率e=62.(1)求双曲线C的方程;(2)过
题型:不详
难度:
来源:
已知F是双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)右焦点,若F到双曲线C的渐近线的距离是1,且双曲线C的离心率
e=
6
2
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点A(0,1)的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q,且P在A、Q之间,若
AP
=
1
2
AQ
,求直线l的方程.
答案
(1)由对称性,不妨设一渐近线为
y=
b
a
x
,右焦点为F(c,0),
则
bc
a
2
+
b
2
=1
,即b=1又
e=
c
a
=
6
2
∴解得a
2
=2,所以双曲线C的方程是
x
2
2
-
y
2
=1
;
(2)设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,设点P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
由
y=kx+1
x
2
-2
y
2
=2
得:(1-2k
2
)x
2
-4kx-4=0,
∵l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q,
∴
△=16
k
2
+16(1-2
k
2
)>0
x
1
+
x
2
=
-4k
2
k
2
-1
>0
x
1
x
2
=
4
2
k
2
-1
>0
1-2
k
2
≠0
∴
1
2
<
k
2
<1
且k<0①
又∵
AP
=
1
2
AQ
,∴
(
x
1
,
y
1
-1)=
1
2
(
x
2
,
y
2
-1)
x
2
=2x
1
∴
3
x
1
=
-4k
2
k
2
-1
,
3
x
1
=
-8k
2
k
2
-1
∴
9
x
1
x
2
=
32
k
2
(2
k
2
-1)
2
=9×
4
2
k
2
-1
,
k=±
3
10
10
满足①式.
∴直线l的方程为
y=
3
10
10
x+1或y=-
3
10
10
x+1
举一反三
已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为2x-y=0,则此双曲线的标准方程是 ______.
题型:不详
难度:
|
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若双曲线经过点
(3,
2
)
,且渐近线方程是
y=±
1
3
x
,则这条双曲线的方程是______.
题型:苏州二模
难度:
|
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已知点P(2,-3)是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
上一点,双曲线两个焦点间的距离等于4,则该双曲线方程是______.
题型:黄浦区二模
难度:
|
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已知又曲线的中心在原点O,焦点在x轴上,它的虚轴长为2,且焦距是两准线间距离的2倍,则该双曲线的方程为______.
题型:崇文区二模
难度:
|
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双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为
3
5
的直线交双曲线于P、Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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