已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为5(1)求其渐近线方程;(2)过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P1、P2两点,且P1P=2PP2,S△OP1
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已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为5(1)求其渐近线方程;(2)过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P1、P2两点,且P1P=2PP2,S△OP1
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的离心率为
5
(1)求其渐近线方程;
(2)过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P
1
、P
2
两点,且
P
1
P
=2
PP
2
,
S
△O
P
1
P
2
=9,求双曲线方程.
答案
(1)∵双曲线的离心率为
5
,∴
c
a
=
5
,∴
b
a
=2
∴双曲线的渐近线方程为y=±2x…(3分)
(2)设P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
),P(x,y)
∵
P
1
P
=2
PP
2
,
∴
x=
x
1
+2
x
2
3
,y=
2
x
1
-4
x
2
3
即
P(
x
1
+2
x
2
3
,
2
x
1
-4
x
2
3
)
由(1)可知,设所求双曲线方程为
x
2
a
2
-
y
2
4
a
2
=1
∵点P在双曲线,上∴
8
x
1
•
x
2
=9
a
2
①…(5分)
又∵
S
△O
P
1
P
2
=9
,∴
1
2
|O
P
1
|•|O
P
2
|•sin∠
P
1
O
P
2
=9
②
由①②得a
2
=4…(7分)
∴所求双曲线方程为
x
2
4
-
y
2
16
=1
…(8分)
举一反三
双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l
1
,l
2
,经过右焦点F垂直于l
1
的直线分别交l
1
,l
2
于A,B两点.已知|
OA
|、|
AB
|、|
OB
|成等差数列,且
BF
与
FA
同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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设直线l:y=x+m,双曲线
E:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
,双曲线的离心率为
3
,l与E交于P,Q两点,直线l与y轴交于点R,且
OP
•
OQ
=-3,
PR
=3
RQ
.
(1)证明:4a
2
=m
2
+3;
(2)求双曲线E的方程;
(3)若点F是双曲线E的右焦点,M,N是双曲线上两点,且
MF
=λ
FN
,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的右焦点是F,右顶点是A,虚轴的上端点是B,且
AB
•
AF
=-1
,∠BAF=120°.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线l交双曲线C于M、N两点,交x轴于点Q(点Q与双曲线C的顶点不重合),当
PQ
=
λ
1
OM
=
λ
2
ON
,且
λ
1
+
λ
2
=-
32
7
时,求点Q的坐标.
题型:东城区二模
难度:
|
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已知双曲线
的一个焦点与抛物线y
2
=4x的焦点重合,且双曲线的离心率等于
则该双曲线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
题型:安徽模拟
难度:
|
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已知α是第四象限角,则方程sinα•x
2
+y
2
=sin2α所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
题型:不详
难度:
|
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