(1)∵双曲线的离心率为, ∴e==,从而b2=2a2. 双曲线的方程可化为2x2-y2=2a2. 设P(x1,y1),Q(x2,y2) 由 得:x2-2mx-m2-2a2=0 则有x1+x2=2m,x1•x2=-m2-2a2 从而y1+y2=4m,y1y2=2m2-2a2 ∵•=-3,∴x1x2+y1y2=-3 则-m2-2a2+2m2-2a2=-3,即4a2=m2+3; (2)∵R(0,m),=3, ∴(-x1,m-y1)=3(x2,y2-m) ∴, 由 | -x1=3x2 | x1+x2=2m | x1•x2=-m2-2a2 |
| | 得m2=a2 由得a2=1则b2=2 故双曲线的方程为x2-=1; (3)易知F(,0),设M(x1,y1),N(x2,y2). 由=λ得: 设直线MN的方程为x=ty+. 由得:(2t2-1)y2+4ty+4=0 则, 消去y1,y2得:= ∵=-<, ∴<, 解得λ>-2+或λ<-2- 当t=0时,可求出λ=1. 当直线MN与x轴重合时, 可求出λ=-2+或λ=-2- 故λ的取值范围是(-∞,-2-]∪[-2+,+∞). |