已知以原点O为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率。（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y

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已知以原点O为中心，F（，0）为右焦点的双曲线C的离心率。
（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
（2）如图，已知过点M（x₁，y₁）的直线l₁：x₁x+4y₁y=4与过点N（x₂，y₂）（其中x₂≠x₁）的直线l₂：x₂x+4y₂y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G，H两点，求的值。

答案

解：（1）设C的标准方程为（a，b>0），
则由题意，
又
因此a=2，
C的标准方程为
C的渐近线方程为
即x-2y=0和x+2y=0。

（2）如图，由题意点E（x_E，y_E）在直线l₁：x₁x+4y₁y=4和l₂：x₂x+4y₂y=4上，
因此有x₁x_E+4y₁y_E=4，x₂x_E+4y₂y_E=4，
故点M，N均在直线x_Ex+4y_Ey=4上，
因此直线MN的方程为x_Ex+4y_Ey=4
设G，H分别是直线MN与渐近线x-2y=0及x+2y=0的交点，
由方程组及
解得，
故
因为点E在双曲线上，有
所以。