如图，F1、F2分别是双曲线C：＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M

题型：不详难度：来源：

如图，F₁、F₂分别是双曲线C：＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF₂＝F₁F₂，则C的离心率是________．

答案

解析

设双曲线的焦点坐标为F₁(－c，0)，F₂(c，0)．
∵B(0，b)，∴F₁B所在的直线为－＝1.①
双曲线渐近线为y＝±x，由得Q.
由得P，∴PQ的中点坐标为.
由a²＋b²＝c²得，PQ的中点坐标可化为.
直线F₁B的斜率为k＝，∴PQ的垂直平分线为y－＝－.
令y＝0，得x＝＋c，∴M，∴F₂M＝.
由MF₂＝F₁F₂得＝＝2c，即3a²＝2c²，∴e²＝，∴e＝