过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为
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过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为
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过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为
.
答案
(2,+∞)
解析
【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.
解:设双曲线的方程为
-
=1(a>0,b>0),右焦点F的坐标为(c,0),令A(c,
),B(c,-
),
所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)
2
+y
2
=
.
又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)
2
+0<
,
即a+c<
⇒a
2
+ac<c
2
-a
2
,
⇒e
2
-e-2>0(e=
),解得e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2.
举一反三
已知双曲线的中心在原点,焦点F
1
,F
2
在坐标轴上,离心率为
,且过点P(4,-
).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
·
=0.
(3)求△F
1
MF
2
的面积.
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P(x
0
,y
0
)(x
0
≠±a)是双曲线E:
-
=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为
.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足
=λ
+
,求λ的值.
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若双曲线
-
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,线段F
1
F
2
被抛物线x=
y
2
的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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抛物线y=
x
2
的焦点与双曲线
-
=1的上焦点重合,则m=
.
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如果双曲线的两个焦点分别为F
1
(-3,0),F
2
(3,0),一条渐近线方程为y=
x,那么它的两条准线间的距离是( )
A.6
B.4
C.2
D.1
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