已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(一3,0),一条渐近线的方程是(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M
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已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(一3,0),一条渐近线的方程是(1)求双曲线C的方程;(2)若以k(k≠0)为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F
1
(一3,0),一条渐近线的方程是
(1)求双曲线C的方程;
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线
与双曲线C相交于两个不同的点M, N,且线段MN的
垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
,求k的取值范围。
答案
(1)
;(2)
解析
试题分析:(1)因为中心在原点的双曲线C的一个焦点是F
1
(一3,0),一条渐近线的方程是
,两个条件即可求出双曲线的方程.
(2)依题意可得通过假设直线
的方程,联立双曲线方程消去y,即可得到一个关于x的二次方程,运用韦达定理以及判别式要大于零,即可写出线段MN的中垂线的直线方程,从而求出直线与两坐标轴的交点,即可表示出所求的三角形的面积,从而得到一个等式结合判别式的关系式,即可得到结论.
试题解析:(1)设双曲线
的方程为
,
由题设得
解得
,所以双曲线
的方程为
;
(2)设直线
的方程为
,点
,
的坐标满足方程组
,将①式代入②式,得
,
整理得
,此方程有两个不等实根,于是
,
且
,
整理得
.③ 由根与系数的关系可知线段
的中点坐标
满足:
,
,从而线段
的垂直平分线的方程为
,此直线与
轴,
轴的交点坐标分别为
,
,
由题设可得
,整理得
,
,
将上式代入③式得
,整理得
,
,解得
或
, 所以
的取值范围是
.
举一反三
己知抛物线
的焦点F恰好是双曲线
的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( )
A.
+1
B.2
C.
D.
-1
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点且焦点在x轴的双曲线C,过点P(2,
)且离心率为2,则双曲线C的标准方程为____________.
题型:不详
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|
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在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线
-
=1的左支上,则
=________.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
=1(
a
>0,
b
>0)的右焦点为
F
,过点
F
作一条渐近线的垂线,垂足为
A
,△
OAF
的面积为
a
2
(
O
为原点),则此双曲线的离心率是( )
A.
B.2
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知点
M
(-3,0)、
N
(3,0)、
B
(1,0),动圆
C
与直线
MN
切于点
B
,分别过点
M
、
N
且与圆
C
相切的两条直线相交于点
P
,则点
P
的轨迹方程为( )
A.
x
2
-
=1 (
x
>1)
B.
x
2
-
=1(
x
>0)
C.
x
2
-
=1(
x
>0)
D.
x
2
-
=1(
x
>1)
题型:不详
难度:
|
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