已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点 为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称．（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双

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已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线
与以点 为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线
对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线的左支交于，两点，另一直线经过  及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围.

答案

（1）双曲线C的方程为:.
（2）

解析

(1)设双曲线C的渐近线方程为,然后根据它与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，建立关于k的方程，求出k值，从而得到双曲线的渐近线方程，再根据双曲线的焦点易求，从而可求出双曲线的标准方程.
(2)直线方程与双曲线方程联立消y后得到关于x的一元二次方程，然后根据直线与双曲线左支交于两点，等价于关于x的一元二次方程在上有两个不等实根,然后转化二次函数根的分布问题来解决