已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围,使l与C只有一个交点;

已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围,使l与C只有一个交点;

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已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2).求过点P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围,使l与C只有一个交点;
答案
当k=±或k=或k不存在时,l与C只有一个交点.
解析
本试题主要是考查了直线与双曲线的位置关系的综合运用。根据已知中的曲线方程和点P的坐标,设出直线方程,然后联立方程组,进而结合方程有一个解,得到参数k的范围和参数k的值。
解:设直线l的方程为y-2=k(x-1),
代入双曲线C的方程,整理得
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*)
当2-k2=0,即k=±时,直线与双曲线的渐近线平行,此时只有一个交点.
②当2-k2≠0时,令Δ=0,得k=.此时只有一个公共点.
又点(1,2)与双曲线的右顶点(1,0)在直线x=1上,而x=1为双曲线的一条切线.
∴当k不存在时,直线与双曲线只有一个公共点.
综上所述,当k=±或k=或k不存在时,l与C只有一个交点.
举一反三
若双曲线的左、右顶点分别为A、B,点P是第一象限内双曲线上的点.若直线PA、PB的倾斜角分别为α,β,且,那么α的值是(   )
A.                        B.                     
C.                         D.
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若双曲线=1(a>0)的离心率为2,a=    (  )
A.2   B.    C.   D.1

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点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点,且P到渐近线距离为,则a+b=          .
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(12分)求与双曲线有共同渐近线,并且经过点 (-3,)的双曲线方程.
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双曲线)的两个焦点为,若双曲线上存在一点,满足,则双曲线离心率的取值范围为
A.B.C.D.

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