解:(1)依题意可知 ∴ ∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支 设其方程为 则 ∴ ∴轨迹W的方程为……………………4分 (2)当的斜率不存在时,显然不满足,故的斜率存在, 设的方程为 由得 又设,则
由①②③解得 ∵ ∴ ∴ 代入①②得, 消去得,即 故所求直线的方程为:…………………………9分 (3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点 若直线的斜率不存在,则以AB为直径的圆为 可知其与直线相交 若直线的斜率存在,则设直线的方程为
由(2)知且 又为双曲线的右焦点,双曲线的离心率e=2 则 设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直径的距离为d,则
∴ ∵ ∴ 即 即直线与圆S相交。 综上所述,以线段AB为直径的圆与直线相交 故对于的任意一确定的位置,与直线上存在一点Q(实际上存在两点) 使得 ………………………………14分 |