已知是双曲线的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是（  ）                               

题型：不详难度：来源：

已知是双曲线
的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是（  ）
                               

答案

D

解析

分析：先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点M的坐标可得，进而求得其中点N的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e．
解：依题意可知双曲线的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴F₁F₂=2c
∴三角形高是c
M（0，c）
所以中点N（-，c）
代入双曲线方程得：-=1
整理得：b²c²-3a²c²=4a²b²
∵b²=c²-a²
所以c⁴-a²c²-3a²c²=4a²c²-4a⁴
整理得e⁴-8e²+4=0
求得e²=4±2
∵e＞1，
∴e=+1
故选D