已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为,并且与直线y=(x-4)相交所得线段的中点的横坐标为-,求这个双曲线的方程.

题型：不详难度：来源：

已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为,并且与直线y=(x-4)相交所得线段的中点的横坐标为-,求这个双曲线的方程.

答案

双曲线方程为-=1.

解析

设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),直线与双曲线两交点为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).由题意知=,即=.
由得(9b²-a²)x²+8a²x-16a²-9a²b²=0.
∵9b²-a²≠0,由韦达定理得x₁+x₂=,即=-.∴7a²=9b².
解得∴所求双曲线方程为-=1.