(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6="0 " (ⅰ)当2-k2=0,即k=±时,方程有一个根,l与C有一个交点 (ⅱ)当2-k2≠0,即k≠±时 Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k) ①当Δ=0,即3-2k=0,k=时,方程有一个实根,l与C有一个交点. ②当Δ>0,即k<,又k≠±,故当k<-或-<k<或<k<时,方程有两不等实根,l与C有两个交点. ③当Δ<0,即k>时,方程无解,l与C无交点. 综上知:当k=±,或k=,或k不存在时,l与C只有一个交点; 当<k<,或-<k<,或k<-时,l与C有两个交点; 当k>时,l与C没有交点. (2)假设以Q为中点的弦存在,设为AB,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即kAB==2 但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点,所以假设不正确,即以Q为中点的弦不存在. |