如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.

题型：不详难度：来源：

如图，已知△P₁OP₂的面积为，P为线段P₁P₂的一个三等分点，求以直线OP₁、OP₂为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.

答案

双曲线方程为=1

解析

以O为原点，∠P₁OP₂的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系.
设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)
由e²=，得.
∴两渐近线OP₁、OP₂方程分别为y=x和y=－x
设点P₁(x₁,x₁),P₂(x₂,－x₂)(x₁＞0,x₂＞0),则由点P分所成的比λ==2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,
即(x₁+2x₂)²－(x₁－2x₂)²=9a²,整理得8x₁x₂=9a²         ①

即x₁x₂=                        ②
由①、②得a²=4,b²=9
故双曲线方程为=1.