下列命题正确的是______①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1).则动点M的轨迹是圆.②椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e

下列命题正确的是______①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1).则动点M的轨迹是圆.②椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e

题型:不详难度:来源:
下列命题正确的是______
①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1).则动点M的轨迹是圆.
②椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=


2
2
,则b=c(c
为半焦距).
③双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦点到渐近线的距离为b.
④知抛物线y2=2px上两点A(x1,y1),B(x2,y2)且OA⊥OB(O为原点),则y1y2=-p2
A.②③④B.①④C.①②③D.①③
答案
①设动点M(x,y),两定点A(-c,0),B(c,0),(λ>0且λ≠1,c>0).
|MA|
|MB|
=


(x+c)2+y2


(x-c)2+y2
=λ,化为[x-
(λ2+1)c
λ2-1
]2+y2=(
2λc
λ2-1
)2
,因此点M的轨迹是以(
λ2+1
λ2-1
c,0)
为圆心,
2λc
|λ2-1|
为半径的圆.
②∵椭圆的离心率e=


2
2
=
c
a
,∴a2=2c2,又a2=b2+c2,∴b2=c2,解得b=c.
③取焦点F2(c,0),渐近线y=
b
a
x
,则焦点到渐近线的距离=
|bc|


b2+a2
=
bc
c
=b
,正确.
④设直线AB的方程:x=my+n,联立





x=my+n
y2=2px
,化为y2-2pmy-2pn=0,
∴y1y2=-2pn,y1+y2=2pm.
∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,
∵x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2
(m2+1)y1y2+mn(y1+y2)+n2=0,
∴-2pn(m2+1)+2pm2n+n2=0,
化为n=2p.
y1y2=-2p•2p=-4p2.因此不正确.
综上:只有①②③正确.
故选:C.
举一反三
与双曲线x2-
y2
2
=1有相同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是______.
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设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)
的离心率e=2,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)满足(  )
A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2外
C.必在圆x2+y2=2上D.以上三种情形都有可能
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的渐近线方程为y=±


3
x,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于(  )
A.
1
2
B.


2
2
C.


3
2
D.1
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已知F1、F2是双曲线16x2-9y2=144的焦点,P为双曲线上一点,若|PF1
题型:PF2|=32,则∠F1PF2=(  )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
2
D.
3
难度:| 查看答案
过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左焦点F作⊙O:x2+y2=a2的两条切线,记切点为A,B,双曲线左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的渐近线方程为(  )
A.y=±


3
x
B.y=±


3
3
x
C.y=±


2
x
D.y=±


2
2
x
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