设F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使PF1•PF2=0,且△F1PF2的三边长构成等差数列,
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设F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使PF1•PF2=0,且△F1PF2的三边长构成等差数列,
题型:不详
难度:
来源:
设F
1
,F
2
是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使
P
F
1
•
P
F
2
=0
,且△F
1
PF
2
的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为( )
A.
2
B.
3
C.2
D.5
答案
由P为双曲线的右支上一点可知,PF
1
>PF
2
∵
P
F
1
•
P
F
2
=0
∴PF
1
⊥PF
2
∴F
1
F
2
>PF
1
>PF
2
由△F
1
PF
2
的三边长构成等差数列,可得2PF
1
=F
1
F
2
+PF
2
=2c+PF
2
①
又由双曲线的定义可知,PF
1
-PF
2
=2a即PF
1
=PF
2
+2a②
①②联立可得,PF
2
=2a-4a,PF
1
=2c-2a
∵
P
F
1
•
P
F
2
=0
∴
P
F
1
2
+
P
F
2
2
=
F
1
F
2
2
即(2c-4a)
2
+(2c-2a)
2
=4c
2
整理可得,c
2
-6ac+5a
2
=0
∵c>a
∴c=5a
∴e=5
故选D
举一反三
以抛物线y
2
=12x的焦点为圆心,且与双曲线
x
2
16
-
y
2
9
=1
的两条渐近线相切的圆的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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过点(1,0)作倾斜角为
2π
3
的直线与y
2
=4x交于A、B,则AB的弦长为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
离心率为
1
2
的椭圆C
1
与双曲线C
2
有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列,则双曲线C
2
的离心率等于( )
A.
15
3
B.
15
5
C.
21
3
D.
21
7
题型:不详
难度:
|
查看答案
过双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x
2
+y
2
=a
2
的两条切线,切点分别为A、B.若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为 ______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的两条渐近线方程为直线
l
1
:y=
3
x和
l
2
:y=-
3
x
,其焦点在x轴上,实轴长为2.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线相切于点M且与右准线交于N,F为右焦点,求证:∠MFN为直角.
题型:不详
难度:
|
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