已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1:y=3x和l2:y=-3x,其焦点在x轴上,实轴长为2.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线相切于点
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已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1:y=3x和l2:y=-3x,其焦点在x轴上,实轴长为2.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线相切于点
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线的两条渐近线方程为直线
l
1
:y=
3
x和
l
2
:y=-
3
x
,其焦点在x轴上,实轴长为2.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+1与双曲线相切于点M且与右准线交于N,F为右焦点,求证:∠MFN为直角.
答案
(Ⅰ)由题意,设双曲线方程为
3
x
2
-
y
2
=λ(λ>0)⇒
x
2
λ
3
-
y
2
λ
=1
.
又2a=1,∴a=1,
∴
λ
3
=1
,∴λ=3,
∴方程为
x
2
-
y
2
3
=1
;
(Ⅱ)证明:由y=kx+1代入双曲线方程,消去y得(3-k
2
)x
2
-2kx-4=0,
由
3-
k
2
≠0
△=0
,可得
k
2
≠3
k
2
=4
,
∴k=±2,
当k=2时得x
M
=-2,代入y=2x+1得y
M
=-3,
∴M(-2,-3),
由
y=2x+1
x=
1
2
⇒N(
1
2
,2)
,
∴
F(2,0)⇒
FM
=(-4,-3)
,
FN
=(-
3
2
,2)⇒
FM
•
FN
=6-6=0⇒
FM
⊥
FN
;
当k=-2时同理得
M(2,-3),N(
1
2
,0)
,
F(2,0)⇒
FM
=(0,-3),
FN
=(-
3
2
,0)⇒
FM
•
FN
=0⇒
FM
⊥
FN
,
综上:∠MFN为直角.
举一反三
已知双曲线
x
2
a
2
-y
2
=1(a>0)的一个焦点与抛物线x=
1
8
y
2
的焦点重合,则此双曲线的离心率为( )
A.
3
3
2
B.
3
C.
2
3
3
D.
4
3
3
题型:不详
难度:
|
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若双曲线
x
2
25
-
y
2
9
=1
上一点P到一个焦点的距离是12,则它到另一个焦点的距离是______.
题型:不详
难度:
|
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求与双曲线x
2
-4y
2
=4有共同的渐近线,并且经过点
(2,
5
)
的双曲线方程.
题型:不详
难度:
|
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设集合
A={(x,y)|
x
2
-
y
2
36
=1},B={(x,y)|y=
3
x
}
,则A∩B的子集的个数是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的离心率为
5
2
,则C的渐近线方程为( )
A.y=
±
1
4
x
B.y=
±
1
3
x
C.y=±x
D.y=
±
1
2
x
题型:不详
难度:
|
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