已知直线x=3与双曲线C:x29-y24=1的渐近线交于E1,E2两点,记OE1=e1,OE2=e2,任取双曲线上的点P,若OP=ae1+be2(a,b∈R),

已知直线x=3与双曲线C:x29-y24=1的渐近线交于E1,E2两点,记OE1=e1,OE2=e2,任取双曲线上的点P,若OP=ae1+be2(a,b∈R),

题型:不详难度:来源:
已知直线x=3与双曲线C:
x2
9
-
y2
4
=1的渐近线交于E1,E2两点,记


OE1
=


e1


OE2
=


e2
,任取双曲线上的点P,若


OP
=a


e1
+b


e2
(a,b∈R),则下列关于a,b的表述:
①4ab=1②0<a2+b2
1
2
③a2+b2≥1④a2+b2
1
2
⑤ab=1
其中正确的是______.
答案
双曲线C:
x2
9
-
y2
4
=1的渐近线方程为y=±
2
3
x

将直线x=3代入y=±
2
3
x
,可得E1(3,2),E2(3,-2).


OE1
=


e1


OE2
=


e2



e1
=(3,2),


e2
=(3,-2),


OP
=a


e1
+b


e2
=(3a+3b,2a-2b),
∴P(3a+3b,2a-2b),
∵P是双曲线C:
x2
9
-
y2
4
=1的点,
(3a+3b)2
9
-
(2a-2b)2
4
=1

∴(a+b)2-(a-b)2=1,
∴4ab=1,∴①正确;
∵a2+b2≥2ab=
1
2
,∴④正确;
故答案为:①④.
举一反三
经过点M(4,3),渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知A(4,3),且P是双曲线x2-y2=2上一点,F2为双曲线的右焦点,则|PA|+|PF2|的最小值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
若方程
x2
k+2
+
y2
5-k
=-1
表示双曲线,则k的取值范围是______.
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双曲线具有光学性质“从双曲线的一个焦点发出的光线被双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一焦点”,由此可得如下结论,过双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)右之上的点P处的切线平分∠F1PF2,现过原点O作的平行线交F1P于点M,则|MP|的长度为(  )
A.aB.b
C.


a2+b2
D.与P点位置有关
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求双曲线16x2-9y2=-144的实轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程.
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