已知直线x=3与双曲线C:x29-y24=1的渐近线交于E1,E2两点,记OE1=e1,OE2=e2,任取双曲线上的点P,若OP=ae1+be2(a,b∈R),
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已知直线x=3与双曲线C:x29-y24=1的渐近线交于E1,E2两点,记OE1=e1,OE2=e2,任取双曲线上的点P,若OP=ae1+be2(a,b∈R),
题型:不详
难度:
来源:
已知直线x=3与双曲线C:
x
2
9
-
y
2
4
=1的渐近线交于E
1
,E
2
两点,记
O
E
1
=
e
1
,
O
E
2
=
e
2
,任取双曲线上的点P,若
OP
=a
e
1
+b
e
2
(a,b∈R),则下列关于a,b的表述:
①4ab=1②0<a
2
+b
2
<
1
2
③a
2
+b
2
≥1④a
2
+b
2
≥
1
2
⑤ab=1
其中正确的是______.
答案
双曲线C:
x
2
9
-
y
2
4
=1的渐近线方程为y=±
2
3
x
,
将直线x=3代入y=±
2
3
x
,可得E
1
(3,2),E
2
(3,-2).
∵
O
E
1
=
e
1
,
O
E
2
=
e
2
,
∴
e
1
=(3,2),
e
2
=(3,-2),
∴
OP
=a
e
1
+b
e
2
=(3a+3b,2a-2b),
∴P(3a+3b,2a-2b),
∵P是双曲线C:
x
2
9
-
y
2
4
=1的点,
∴
(3a+3b
)
2
9
-
(2a-2b
)
2
4
=1
,
∴(a+b)
2
-(a-b)
2
=1,
∴4ab=1,∴①正确;
∵a
2
+b
2
≥2ab=
1
2
,∴④正确;
故答案为:①④.
举一反三
经过点M(4,3),渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知A(4,3),且P是双曲线x
2
-y
2
=2上一点,F
2
为双曲线的右焦点,则|PA|+|PF
2
|的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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若方程
x
2
k+2
+
y
2
5-k
=-1
表示双曲线,则k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线具有光学性质“从双曲线的一个焦点发出的光线被双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一焦点”,由此可得如下结论,过双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)右之上的点P处的切线平分∠F
1
PF
2
,现过原点O作的平行线交F
1
P于点M,则|MP|的长度为( )
A.a
B.b
C.
a
2
+
b
2
D.与P点位置有关
题型:不详
难度:
|
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求双曲线16x
2
-9y
2
=-144的实轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程.
题型:不详
难度:
|
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