已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点,P为椭圆上一点且PF1•PF2=c2,则此椭圆离心率的取值范围是______.
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已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点,P为椭圆上一点且PF1•PF2=c2,则此椭圆离心率的取值范围是______.
题型:不详
难度:
来源:
已知F
1
(-c,0),F
2
(c,0)为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的两个焦点,P为椭圆上一点且
P
F
1
•
P
F
2
=
c
2
,则此椭圆离心率的取值范围是______.
答案
由椭圆的定义得:
PF
1
+PF
2
=2a
平方得:|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
+2PF
1
PF
2
=4a
2
.①
又∵
P
F
1
•
P
F
2
=
c
2
,
∴|PF
1
|•|PF
2
|cos∠F
1
PF
2
=c
2
,②
由余弦定理得:
|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
-2|PF
1
|•|PF
2
|cos∠F
1
PF
2
=F
1
F
2
2
=4c
2
,③
由①②③得:cos∠F
1
PF
2
=
c
2
2a
2
-3c
2
≤1⇒
2
c≤a
⇒
e≤
2
2
|PF
1
|•|PF
2
|=2a
2
-3c
2
,又|PF
1
|•|PF
2
|≤
(
|PF1|+|PF2|
2
)
2
=a
2
∴2a
2
-3c
2
≤a
2
⇒a
2
≤3c
2
⇒
e≥
3
3
则此椭圆离心率的取值范围是:
[
3
3
,
2
2
]
故答案为:
[
3
3
,
2
2
]
.
举一反三
设F
1
、F
2
是离心率为
5
的双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使
(
OP
+
O
F
2
)•
F
2
P
=0
(O为坐标原点)且|PF
1
|=λ|PF
2
|则λ的值为( )
A.2
B.
1
2
C.3
D.
1
3
题型:孝感模拟
难度:
|
查看答案
已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
2
=1(a>0)
的两条渐近线的夹角为
π
3
,则e=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
双曲线
x
2
-
y
2
3
=1
的一个焦点到它的渐近线的距离为( )
A.1
B.
2
C.
3
D.2
题型:合肥模拟
难度:
|
查看答案
已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=
3
x,它的一个焦点与抛物线y
2
=32x的焦点相同.则双曲线的方程为______.
题型:焦作模拟
难度:
|
查看答案
经过双曲线
x
2
-
y
2
3
=1
的右焦点任意作交双曲线右支的弦AB,过A作双曲线右准线的垂线AM,垂足为M,则直线BM必经过点( )
A.
(
7
4
, 0)
B.
(
5
4
, 0)
C.
(
5
2
, 0)
D.
(
7
2
, 0)
题型:武昌区模拟
难度:
|
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