过双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P.若OE=1
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过双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P.若OE=1
题型:成都二模
难度:
来源:
过双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(b>a>0)
的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x
2
+y
2
=a
2
的切线,切点为E,延长FE交抛物线y
2
=4cx于点P.若
OE
=
1
2
(
OF
+
OP
)
,则双曲线的离心率为( )
A.
3+
3
2
B.
1+
5
2
C.
5
2
D.
1+
3
2
答案
设双曲线的右焦点为F",则F"的坐标为(c,0)
∵抛物线为y
2
=4cx,
∴F"为抛物线的焦点,O为FF"的中点,
∵
OE
=
1
2
(
OF
+
OP
)
∴E为FP的中点
∴OE为△PFF"的中位线,
∵O为FF"的中点
∴OE
∥
PF"
∵|OE|=a
∴|PF"|=2a
∵PF切圆O于E
∴OE⊥PF
∴PF"⊥PF,
∵|FF"|=2c
∴|PF|=2b
设P(x,y),则x+c=2a,∴x=2a-c
过点F作x轴的垂线,则点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y
2
+4a
2
=4b
2
∴4c(2a-c)+4a
2
=4(c
2
-a
2
)
∴e
2
-e-1=0
∵e>1
∴e=
5
+1
2
.
故选B.
举一反三
双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值范围是( )
A.[4
2
-4,4)
B.
[4
2
-4,2]
C.
(4
2
-4,2)
D.
[4
2
-4,2)
题型:湖北模拟
难度:
|
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双曲线x
2
-
y
2
3
=1的两条渐近线的夹角等于______.
题型:资阳三模
难度:
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双曲线kx
2
-y
2
=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,则此双曲线的离心率是( )
A.
5
2
B.
3
2
C.
4
3
D.
5
题型:不详
难度:
|
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如果直线
y=
4
3
x是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的一条渐近线,那么该双曲线的离心率等于( )
A.
5
3
B.
5
4
C.
4
3
D.2
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
c:
x
2
2
-
y
2
=1
,设直线l过点
A(-3
2
,0)
,
(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;
(2)证明:当k>
2
2
时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为
6
.
题型:上海
难度:
|
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