双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（　　）A．[42-4，4）B．[42-4，2]C．(42-4，2)D．[42-4，2)

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双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（　　）

A．[4 2 -4，4）

B．[4 2 -4，2]

C．(4 2 -4，2)

D．[4 2 -4，2)

答案

∵双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，
∴2a+2b+2c=8，a+b+c=4，∴a+b=4-c
在双曲线中，a²+b²=c²，
∴a²+b²+2ab-2ab=c²，即（a+b）²-2ab=c²，
∴（4-c）²-2ab=c²，ab=

(4-c)2-c2

2

∵a＞0，b＞0，∴ab≤(

a+b

2

)2=

(4-c)2

4

即

(4-c)2-c2

2

≤

(4-c)2

4

，化简得，c²+8c-16≥0
解得，c≥4

2

-4，或c≤-4

2

-4
又∵a²+b²=c²，
∴c＜a+b，
∴2c＜a+b+c=4，c＜2
∴半焦距c的取值范围是[4

2

-4，2）
故选D